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极限与连续

2021-09-07 09:52:29   0  举报

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大纲/内容

极限及计算

极限的概念

数列极限

∀ε>0，∃N, 当n>N时，有|Xn-a|<ε

函数极限

X->Xo

∀ε>0，∃δ>0, 当0<|X-Xo|<δ时，有|f(x)-A|<ε

X->∞

∀ε>0，∃X>0, 当x>X时，有|f(x)-A|<ε

单侧极限

函数f(x)在点Xo极限存在⇔函数f(x)在点Xo左、右极限存在且相等

极限的基本性质与运算法则

数列极限的基本性质

唯一性

有界性

不等式性质（n->∞）

函数极限的基本性质

局部有界性

不等式性质（X->Xo，去心领域）

运算法则

四则运算

计算方法

代入法（不产生无意义的点）

约公因子法

最高次幂（n->∞,多项式）

等价无穷小 X->0

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e^x-1~ln(1+x)

1-cosx~1/2x²

a^x-1~xlna

(1+βx)^α-1~αβx

两个重要极限（整体思想）

洛必达法则

无穷小(大)量

定义

无穷小：limf(x)=0(X->Xo)

无穷大：limf(x)=∞(X->Xo)

比较

设f(x),g(x)都是X->Xo时的无穷小量，且g(x)≠0

limf(x)/limg(x) = 0   ⟹   f(x)是g(x)高阶无穷小量，f(x)=o(g(x))

limf(x)/limg(x) =C≠ 0   ⟹    f(x)是g(x同阶无穷小量

limf(x)/limg(x) = 1   ⟹    f(x)是g(x等阶无穷小量，f(x)~g(x)

limf(x)/limg(x) = ∞   ⟹  f(x)是g(x 低阶无穷小量，f(x)=O(g(x))

渐近线

水平渐进线

如果当x-> +∞(- ∞ ),limf(x)=c,y=c为水平渐近线

垂直渐进线

如果当x->x0,limf(x)=∞,x=x为垂直渐近线

斜渐近线

如果当x-> +∞(- ∞ ),lim[(f(x)-(ax+b)]=0,其中a,b为常数，y=ax+b为斜渐进线

函数的连续性与间断点

函数的连续性

∀ε>0，∃δ>0, 当x∈U(Xo,δ)时，有|f(x)-f(Xo)|<ε   ⇔   f(x)在点Xo处连续

有定义

左连续=右连续

当X->Xo，limf(x)=f(Xo)

单侧连续

函数f(x)在点Xo连续⇔函数f(x)在点Xo左、右极连续在且相等

函数在区间内（上）的连续定义

点连续⟹开区间连续⟹端点连续⟹闭区间连续

闭区间上的连续函数性质 

有界性

若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界，即∃M>0,对∀x∈[a,b]，有|f(x)|≤M

最值定理

若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，即∃x₁，x₂∈[a,b]，有f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)

介值定理

设函数f(x)在[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若c是介于f(a)和f(b)之间的任意实数，至少存在一点x₀∈[a,b]，使得f(x₀)=c.

零点存在定理

若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则至少存在一点x₀∈[a,b]，使得f(x₀)=0

一致连续性定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续

函数的间断点和分类

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点（左极限=右极限≠f(Xo)

跳跃间断点(左极限≠右极限)

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点(∞ )

震荡间断点(f(x)=sin1/x;f(x)=cos1/x)

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