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一元函数微分学

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一元函数微分学

2021-09-18 17:39:14   0  举报

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教资科目三·高等数学

微分

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大纲/内容

导数

定义

lim[f(x)-f(x₀)]/x-x₀ （x->x₀）

单侧导数

函数f(x)在点x0可导⇔函数f(x)在点x₀左、右导数存在且相等

几何意义

y=f(x)在点x0处切线的斜率

性质

奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导数是奇函数

求导法则

复合函数求导

隐函数求导

参数方程求导

一阶导数的应用

切线方程

y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)

法线方程(和切线垂直的方程)

单调性

<span style="font-size: inherit;">f'(x)>0</span>⇒单调递增<br>

<span style="font-size: inherit;">f'(x)<0</span>⇒单调递增

驻点

f'(x)=0

极值与最值

极值（驻点或不可导的点）

方法一

求导

求出一阶导数等于0以及不可导的点

穿针引线

方法二

f(x)在x₀二阶可导，且f'(x₀)=0,f''(x₀)≠0

f''(x₀)<0⇒极大值

f''(x₀)>0⇒极小值

最值（连续必有最值）

求极值点

求端点值

比较大小

方程的根和函数的零点

方程f(x)=0有实根⟹函数y=f(x)与x轴有交点⟹y=f(x)有零点

二分法(左右异号的零点)

二阶导数的应用

函数的凹凸性

定义

凹函数： f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2

凸函数:  f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2

定理

凹函数：f''(x)≥0

凸函数:f''(x)≤0

詹森不等式

拐点

定义

函数的凹凸性改变的点

必要条件

拐点⟹f''(x)=0

充分条件

f''(x)在点x0左右两边符号相反

三阶可导。f''(x)=0,q且f'''(x)≠0

微分

定义

dy=y'dx

近似计算

f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)Δx<br>

f(x)≈f(0)+f'(0)x

微分学基本定理

费马引理

设函数f(x)在x0的某一邻域有定义，并且在x0处可导。若x0是f(x)的极值点，则f'(x)=0

罗尔定理

f(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续

f(x)函数在开区间（a,b）内可导

f(a)=f(b)

拉格朗日中值定理

f(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续

f(x)函数在开区间（a,b）内可导

柯西中值定理

f(x)和g(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续

f(x)和g(x)函数在开区间（a,b）内可导

g'(x)≠0

微分中值定理的运用

泰勒公式

麦克劳林公式

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