平面向量及其应用
2023-08-10 09:29:44 3 举报AI智能生成
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平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
作者其他创作
大纲/内容
如力，位移，速度等
既有大小，又有方向的量叫向量
如年龄，长度，面积等
只有大小，没有方向的量叫数量
概念
具有方向的线段叫有向线段
记作向量||
向量的大小称为向量的长度﹝或称模﹞
零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥
记作
长度为0的向量叫做零向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
几何表示
平行向量没有传递性
向量与平行，记作∥
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
用有向线段表示的向量与相等，记作=
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
平行向量也叫做共线向量
相等向量与共线向量
平面向量概念
概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
首尾相连，起点指终点
三角形法则
共起点，对角线
平行四边形法则
方法
+=+=。
规定：对于零向量与任意向量
共线且反向取
｜|-|｜≤｜+｜
共线且同向时取
|+|≤||+||
向量的加法运算
-(-a)=a
记作-a
规定：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
概念：求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量的减法运算
｜λa｜=｜λa｜｜a｜
当λ﹥0时，λa的方向与a的方向相同
当λ﹤0时，λa的方向与a的方向相反
记作λa
定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
λ(μa)=(λμ)a
λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
(-λ)a=-(λa)=λ(-a)
λ(a-b)=λa-λb
运算律
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa
向量的数乘运算
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角
θ=0时，a与b同向；θ=π时，a与b反向
记作a⊥b
θ=90°，我们说a与b垂直
规定：零向量与任一向量的数量积为0
a·b=｜a｜｜b｜cosθ
我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)记作a·b
算法1：a·e=e·a=｜a｜cosθ
算法2：a⊥b a·b=0
算法3：a与b同向，a·b=｜a｜｜b｜；a与b反向，a·b=-｜a｜｜b｜
算法：｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
a·b=b·a
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
(a+b)·c=a·c+b·c
向量的数量积
平面向量运算
建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题
把运算结果“翻译”成几何问题
用向量方法解决平面几何的“三部曲”
平面几何中的向量方法
｜F₁｜=｜G｜/2cosθ/2
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
小船过河问题
向量在物理中的应用举例
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
余弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC
补充：S▲=1/2ab sinC
正弦定理
平面向量应用
如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂
若e₁，e₂不共线，我们把｛e₁，e₂｝叫做表示这一平面向量内所有向量的一个基底
平面向量基本定理
选取互相垂直的向量作基底
概念:把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解
x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y)叫做向量a的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）
平面向量的正交分解及坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
求有向线段的坐标
平面向量加、减运算表示
λa=λ（xi+yj）=λxi+λyj
λa=（λx，λy)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量a，b共线的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0
平面向量数乘运算的坐标表示
概念：两个向量的数量等于它们对应坐标的乘积的和
a=（x，y），则｜a｜²=x²+y²，｜a｜=√x²+y²
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），那么a=（x₂-x₁，y₂-y₁），｜a｜=√（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²
a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂）则a⊥b x₁x₂+y₁y₂=0
a，b都是非零向量，a=（x₁，y₁），b=（y₂，y₂），θ是a，b的夹角，则cosθ=a·b/｜a｜｜b｜=x₁x₂+y₁y₂/√x₁²+y₁²√x₂²+y₂²
a在b投影｜a｜cosθ=a·b/｜b｜
平面向量的数量积的坐标表示
平面向量与直角坐标系
平面向量及其应用
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