数学必修第二册：平面向量及其应用（二）
2023-08-09 16:43:13 12 举报AI智能生成
向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
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大纲/内容
向量的数量积
已知两个非零向量a与b, 它们的夹角为θ, 我们把数量laI lbIcosθ叫做向量a与b的数量积
记作：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a·b" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="|a||b|·cosθ"><span></span><span></span></span>
零向量与任一向量的数量积为0
夹角
已知两个非零向量a, b , O是平面上的任意一点，作<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\overrightarrow{OA}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=a, <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\overrightarrow{OB}"><span></span><span></span></span>=b，则∠AOB=θ，（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角
当θ=0时，a与b同向；当θ=π，a与b反向
如果a与b的夹角是<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\frac{π}{2}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> ，我们说a与b垂直，记作a⊥b
投影向量
投影
设a, b是两个非零向量，<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\overrightarrow{AB}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=a,<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\overrightarrow{CD}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=b，我们考虑如下的变换，过<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\overrightarrow{AB}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的起点A和终点B，分别做<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="\overrightarrow{CD}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>所在直线的垂线，垂足分别为<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="A_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="B_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，得到我们称<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="6" data-equation="\overrightarrow{A_1 B_1}"><span></span><span></span></span>上述变换为向量a是向量b的投影
投影向量
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\overrightarrow{A_1B_1}"><span></span><span></span></span>叫做向量a在向量b上的投影向量
平面向量基本定理
如果<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="e_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="e_2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="λ_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="λ_2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，使a=<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="λ_1e_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>+<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="5" data-equation="λ_2e_2"><span></span><span></span></span>。
平面向量的应用
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
余弦定理
余弦定理： 三角形中任何一边的平方、 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a²=b²+c²-2bc<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="cosA"><span></span><span></span></span>
b²=c²+a²-2ca<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="cosB" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
c²=a²+b²-2ab<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="cosC"><span></span><span></span></span>
正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\frac{a}{sinA}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\frac{b}{sinB}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="\frac{c}{sinC}"><span></span><span></span></span>
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