线性代数
2016-10-13 10:25:21 0 举报
AI智能生成
线性代数是数学的一个分支,主要研究向量、向量空间(也叫线性空间)、线性映射(也叫线性变换)和它们的基本概念。线性代数的理论和方法在科学和工程中有广泛的应用,如物理学、计算机科学、经济学等。线性代数的研究可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。例如,通过线性代数,我们可以将复杂的问题简化为更易于处理的数学形式,从而更容易找到解决方案。此外,线性代数也是许多其他数学领域的基础,如微积分、概率论和统计学等。因此,掌握线性代数的基本概念和方法对于学习和理解这些领域都是非常重要的。
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大纲/内容
正交
向量空间正交
四个基本子空间
矩阵与向量
投影
A^{T}Ax=A^{T}b
最小二乘
向量与向量
正交矩阵
简化投影
Gram-Schmidt
矩阵特性
行列式
性质
3个基本性质
I
交换
线性性
5个推导性质
相等行、列
零向量
消元操作
对角矩阵
与可逆的关系
2个计算性质
detAB
detA^{T}
定义
BIG FORMULA
代数余子式
应用
求逆
求Ax=b
CRAMER's RULE
等价于求解另一个矩阵的行列式
特征值和特征向量
含义
矩阵变换后方向不变
定义
Ax=λx
应用
对角化
AS=SΛ
矩阵幂
特殊的矩阵
对称矩阵
特点
特征值都是实数
特征向量互相垂直
应用
对角化
A=QΛA^{T}
由多个投影矩阵组成
正定矩阵
特征值
主元
子矩阵行列式
二次型
相似矩阵
A=M`BM
应用
SVD
含义
行、列空间正交基
计算
AV=UE
线性变换
对应矩阵
基变换
左右逆和伪逆
一个矩阵
三种解释
行
方程组
列
向量
矩阵
消元法
消元求解
消元本质
EA=U
两个矩阵
五种矩阵乘法
element-wise
column-wise
row-wise
column * row
block-wise
逆
存在条件
Gauss-Jordan
eliminate together
A=LU
EA=U
A=E`U
向量空间
定义
对加法、数乘封闭
零空间
Ax=0
[-F I]^{T}
列空间
Ax=b
x = xp + xn
描述
基
线性无关
nullspace
秩
张成向量空间
维数
四个基本子空间
C(A)
r
N(A^{T})
m-r
C(A^{T})
r
N(A)
n-r
Matrix Calculus
一阶导
向量
b^{T}x ~ b
x^{T}x ~ 2x
矩阵
x^{T}Ax ~ 2Ax
二阶导
向量
Hessian
x^{T}Ax ~ 2A
类比
b^{T}x ~ bx
x^{T}x ~ x^{2}
x^{T}Ax ~ ax^{2}
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