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考研数一第二章

2020-04-27 23:15:51   11  举报

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考研数一第二章

第一版

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大纲/内容

导数基础  计算

证明函数点可导连续

证明函数点极限与去点邻域极限相等，

求导点极限

由于不确定g''(x)是否存在，则不能用洛必达公式求导，只能借助题目中g"(0)这个条件来求导了

求导邻域极限

证点可导

证明点可导，第一，需证明点连续，第二证明左右导相等，利用这两个条件求解

需记忆

 特例：

 |x-1|（x-1）可导

利用微分与极限的关系，来构造函数式子

进行替换之后，整体计算都变得容易起来

n阶求导

裂项

 直接裂项进行求导

此题相对于泰勒公式求导，直接裂项会更简单一些，由此可得出泰勒公式一般用于非线性函数的n阶求导

泰勒公式

对于不好裂项的特殊式子，可采用泰勒展开来求导

莱布尼茨公式

导数应用  计算

积分式子合并【当积分与式子求和时使用】

便于合并

圆曲率

 曲率圆与函数的交点一阶导数与二阶导数都相等，则此题可通过此性质直接求导

 由二阶微分方程证明极值点

求证极小值，证明一阶导数为0，二阶导数大于0

 证一阶导为0，首先应考虑值代入，齐次再考虑用极限证明

证明二阶导数为0，可借助等式用一阶导数表示二阶导数，用后根据已知条件证明

不等式证明   计算

对于自然数e的函数与幂函数比较大小时，先用对数变形化简整个式子然后进行比较

对数化后，的求导变得更加便捷

用单调性证明不等式

对于复杂的指数和乘积时，可先用对数化简然后在进行比较大小。此题不满足任何定理，所以用单调性来证明，等号成立的证明也是证明函数的极值与最值

对数化简

求导，初步观察不出来具体的单调性，无继续倒下去，不过，从这里可以开始证明x=1，为极值点，在配合单调性，求解会变得更容易。该函数的一阶导数在x=1处为0

任不能得出单调性，需继续导，不过可以证明，x=1为极大值点

第三次导数之后得出函数的单调性，开始总结解题

求证f(x)与f'(x)的存在性等式

已知两端的等式---构造新等式

依据已知条件和需求量进行构造函数

柯西中值定理

此题在于f(0)=0，这个条件的使用，因为等式一段是常数，则f(0)可以添加进去正好可以凑成柯西中值定理

证明二次导数的存在性等式

泰勒等式

题中的最大值点，很容易得知一阶导数为0,在已知点值，一阶点值，求二阶时，可以考虑使用泰勒公式

零点存在证明

根据积分式子来求导

导数基础

定义

导数：存在极限

性质：

f(x)在a点存在导数时，则函数在该点连续，反之则不成立【隐含条件】

微分与函数增量的关系

若f(x)存在n阶导数，这f(x)是奇函数，则f'(x)是偶函数，f''(x)是奇函数

公式定理

基本重要公式：

变限积分求导公式：

n阶乘法的求导公式:

参数函数求导公式：

冥指函数求导公式：

反函数的求导公式：

导数应用

定义

极值：极小值（一次导数为0，二次导数大于0），极大值相反【j极值处不一定可导】

凹凸性：f(x)的二次函数大于0 ，则函数凹

拐点：f(x)的二次函数为0 的点，且三次函数不为0

驻点：连续函数f(x)的一次函数为0的点

性质与应用

求函数最值

求函数内部所有驻点和不可导点

求函数端点值

求渐进线

水平渐近线

x趋近无穷【正负无穷】时，y的值

铅直渐近线

 使Y趋近无穷的x的值，

斜渐近线

 x趋近正无穷时，y与x比值的值a，此时y与ax的差值为b，y=ax+b;

曲率，曲率圆和曲率半径

曲率公式：

曲率半径：

曲率的倒数

中值定理、不等式与零点问题

定理

罗尔定理

f(x)在区间[a,b]上连续且可导，设f(a)=f(b),则至少存在一点&,使得该点的导数为0

拉格朗尔定理

f(x)在区间[a,b]上连续且可导，则

柯西中值定理

f(x),g(x)在区间[a,b]上连续且可导,且g(x)的导数不为0，则

泰勒定理

f(x)在区间[a,b]上连续且可导，n阶导数连续，存在n+1阶导数

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