考研数一第二章
2020-04-27 23:15:51 11 举报AI智能生成
考研数一第二章
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大纲/内容
导数基础 计算
证明函数点可导连续
证明函数点极限与去点邻域极限相等，
求导点极限
由于不确定g''(x)是否存在，则不能用洛必达公式求导，只能借助题目中g"(0)这个条件来求导了
求导邻域极限
证点可导
证明点可导，第一，需证明点连续，第二证明左右导相等，利用这两个条件求解
需记忆
特例：
|x-1|（x-1）可导
利用微分与极限的关系，来构造函数式子
进行替换之后，整体计算都变得容易起来
n阶求导
裂项
直接裂项进行求导
此题相对于泰勒公式求导，直接裂项会更简单一些，由此可得出泰勒公式一般用于非线性函数的n阶求导
泰勒公式
对于不好裂项的特殊式子，可采用泰勒展开来求导
莱布尼茨公式
导数应用 计算
积分式子合并【当积分与式子求和时使用】
便于合并
圆曲率
曲率圆与函数的交点一阶导数与二阶导数都相等，则此题可通过此性质直接求导
由二阶微分方程证明极值点
求证极小值，证明一阶导数为0，二阶导数大于0
证一阶导为0，首先应考虑值代入，齐次再考虑用极限证明
证明二阶导数为0，可借助等式用一阶导数表示二阶导数，用后根据已知条件证明
不等式证明 计算
对于自然数e的函数与幂函数比较大小时，先用对数变形化简整个式子然后进行比较
对数化后，的求导变得更加便捷
用单调性证明不等式
对于复杂的指数和乘积时，可先用对数化简然后在进行比较大小。此题不满足任何定理，所以用单调性来证明，等号成立的证明也是证明函数的极值与最值
对数化简
求导，初步观察不出来具体的单调性，无继续倒下去，不过，从这里可以开始证明x=1，为极值点，在配合单调性，求解会变得更容易。该函数的一阶导数在x=1处为0
任不能得出单调性，需继续导，不过可以证明，x=1为极大值点
第三次导数之后得出函数的单调性，开始总结解题
求证f(x)与f'(x)的存在性等式
已知两端的等式---构造新等式
依据已知条件和需求量进行构造函数
柯西中值定理
此题在于f(0)=0，这个条件的使用，因为等式一段是常数，则f(0)可以添加进去正好可以凑成柯西中值定理
证明二次导数的存在性等式
泰勒等式
题中的最大值点，很容易得知一阶导数为0,在已知点值，一阶点值，求二阶时，可以考虑使用泰勒公式
零点存在证明
根据积分式子来求导
导数基础
定义
导数：存在极限
性质：
f(x)在a点存在导数时，则函数在该点连续，反之则不成立【隐含条件】
微分与函数增量的关系
若f(x)存在n阶导数，这f(x)是奇函数，则f'(x)是偶函数，f''(x)是奇函数
公式定理
基本重要公式：
变限积分求导公式：
n阶乘法的求导公式:
参数函数求导公式：
冥指函数求导公式：
反函数的求导公式：
导数应用
定义
极值：极小值（一次导数为0，二次导数大于0），极大值相反【j极值处不一定可导】
凹凸性：f(x)的二次函数大于0 ，则函数凹
拐点：f(x)的二次函数为0 的点，且三次函数不为0
驻点：连续函数f(x)的一次函数为0的点
性质与应用
求函数最值
求函数内部所有驻点和不可导点
求函数端点值
求渐进线
水平渐近线
x趋近无穷【正负无穷】时，y的值
铅直渐近线
使Y趋近无穷的x的值，
斜渐近线
x趋近正无穷时，y与x比值的值a，此时y与ax的差值为b，y=ax+b;
曲率，曲率圆和曲率半径
曲率公式：
曲率半径：
曲率的倒数
中值定理、不等式与零点问题
定理
罗尔定理
f(x)在区间[a,b]上连续且可导，设f(a)=f(b),则至少存在一点&,使得该点的导数为0
拉格朗尔定理
f(x)在区间[a,b]上连续且可导，则
柯西中值定理
f(x),g(x)在区间[a,b]上连续且可导,且g(x)的导数不为0，则
泰勒定理
f(x)在区间[a,b]上连续且可导，n阶导数连续，存在n+1阶导数
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