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灰兔-公务员考试-数量关系

2025-09-09 16:29:04   0  举报

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灰兔老师的数量关系课程梳理思维导图，有助于大家总结，祝大家成功上岸

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灰兔老师

作者其他创作

大纲/内容

数量实战常用技巧攻略

实战秒杀法

带入排除法

解题步骤：一般先根据整除性质、同余理论、题干中某个限制条件等将干扰性不强的选项排除，再将备选答案代入。 代入顺序：一般情况下，求最大值的题目，由大到小代入，反之亦然。可以排除两选项的，代入剩余两种的一个，满足就选它，不满足选另一个，大大提高了解题速度与效率！

赋值法

选取方法：设“1”法、设公倍数法等。

方程法

方程法的关键：  1、 准确迅速找出题目中的等量关系  2、 合理地设立未知数，尽量使方程简单易解  3、 对无需计算出具体数值的未知数，可以采用“设而不解”的思想。

1、消未知数时应注意保留所求未知量 2、对于数量关系复杂的方程注意整体代换 3、结合一定的技巧，如换元法、整除性质、代入排除等，以达到事半功倍的效果。

数字特性法

数字特性分类：大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、因子特性、整除特性、幂次特性等

基本思想：寻找答案所具有数字特性，排除不符合选项； 常用方法：数字整除； 解题关键：熟悉各种数字特性，掌握数字整除判定方法。

看到百分数、小数、倍数、比例等第一直觉是数字特性法

基础理论

关于整除的其他注意事项

被其他合数整除的数字特性，应将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质因数整除，    比如被 28 整除的数字，需同时被 4 和 7 整除

实战蒙杀法

选项关联法

规避陷阱法

形式蒙题法

选项差异法

选项差异，即选项排他性，是指四个选项，其中一个选项与其他三个选项形式不一致， 往往是正确答案

公约数与公倍数

不定方程

综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数    法、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做    等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示

an=a1+(n-1)d

只有当项数为奇数项的时候，才会有中位数（即平均数、中间项）。如果项数是偶    数的情况下，不存在中位数，但是我们可以虚拟一个中位数，比如 2,3,4,5 的等差数列，我们可以 虚拟一个中位数 3.5，也就是 3 与 4,2 与 5 的平均数

a1+a7=a2+a6=a3+a5=a4+a4

鸡兔同笼

鸡数=（兔脚数×总头数一总脚数）÷（兔脚数一鸡脚数）； 兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）。

万能思维：先假设全部是某一种，然后求出的值与实际值的差值除以他们单个的    差值，得出来的是另一种。（假设鸡得出兔，假设兔得出鸡）

终极比例法

将繁琐的数值简化为简单的数值来进行分析，同时比例法的实则也是把握住了数学的核心思想“相对    关系”。

比和比例的性质： ①正比例：如果 a÷b=k（k=常数），则称 a、b 成正比； ②反比例：如果 a×b=k（k=常数），则称 a、b 成反比；

三个量中必须有一个量是固定的，这样两外两个量才会有相对关系。

类型

份数比例法

和、差比例法

三量比例法

遇到三个量或者多个量，建立比例关系，需要通过某一个量进行统一， 比如①甲：乙=2：3，②   乙：丙=4:5.那么甲乙丙的比例如何建立？ 两次比例都有乙，那么就需要通过乙进行“搭桥”都统一成 12（3、4 最小公倍数） 那么甲：乙：丙=8:12:15(①扩大 4 倍，②扩大三倍)

恒值比例法

牢牢给我抓住不变量，统一它，看其他量的变化！

工程问题

本质

是将一般的工作问题分数化，换句话说就是研究工作总量、 工作效率、工作时间三者之间的关系问题。

工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率

方法

比例法

特值法

假设工程量“1”，工作总量一定作为解题的突破口，也可以使 1，也可以是某一值。

核心要点：方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数

题型分类

单人完成工程问题 全程合作问题 分阶工程问题 水管问题 轮流合作型 时间效率转化

行程问题

基本题型

相遇追击

知识点

1、基本公式：距离=速度×时间 2、相遇追及问题： 基础理论 相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

核心方法

1、比例法：运用比例法的目的是为了将繁琐的数值简化为简单的数值来进行分析，同时比    例法的实质也是把握住了数学的核心思想“相对关系”。（第 4 讲比例法有详细介绍） 2、画图法：通过简单行程图，迅速理清各物体运动轨迹！ 3、公式法：特定模型应用特定公式，秒杀题目。

解题要点

用比例不用方程，用份数不用分数。

顺流逆流

题目表述环境为船在河流中顺流、逆流的运动情况。

（1）基本行船问题 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 （2）由上述两个公式进行相加相减得以下两公式： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

扶梯问题

题目涉及为人在运动的电梯上同时向上向下行走，待求量为扶梯长度，也即“扶梯静止时    露在外面的梯级数”（实际上是变形的行船问题）。

顺行：扶梯长度=（人速+电梯速度）×顺行时间 逆行：扶梯长度=（人速-电梯速度）×逆行时间 拓展延伸 顺行：扶梯梯级级数=人走过的梯级数+扶梯运行的梯级数 逆行：扶梯梯级级数=人走过的梯级数-扶梯运行的梯级数

环形运动

题目表述为两个运动体沿着圆形跑到运动的过程，通常从同一点出发同向或反向运动。

同向运动：环形周长=（大速度-小速度）×时间 反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×时间

等距离平均速度

题目表述为某运动物体会以不同的速度两次通过同一路程，待求两次运动的平均速度及相关量。

实际是两速度的调和平均数

公车模型（双向数车）

公车模型，即双向数车模型，题目表述为某人以一定的速度出行，每隔一定时间迎面遇到    一辆公交车，每隔一定时间从背后超过一辆公交车。求发车间隔或者车人速度。

经典公式

【推导过程】每辆车发车间隔相同，两辆车间的距离相等，也就是发车间隔×公车速度，假定 S。迎面开 来的车相当于相遇过程，相遇路程为 S，时间为 t1，车人速度和=S/t1；背后的车相当于追及过程， 追及路程为 X，时间为 t2，车人速度差=S/t2。根据和差公式可以求出车人速度，

队首队尾

题目涉及为一支队伍在行进过程中，有人从队伍的队尾赶到队首，或者从队首赶到队尾。

队尾→队首：队伍长度=（人的速度-队伍速度）×时间 队首→队尾：队伍长度=（人的速度+队伍速度）×时间

【核心思维】 从队尾赶到队首，可看作该人与队首的追及过程； 从队首赶到队尾，可看作该人与队尾的相遇过程。

火车过桥

题目涉及火车通过桥等有一定长度的物体。

火车本身的长度也是“路程”的一部分，以火车头或车尾作为运动点，按相遇或追及问题考虑。

往返相遇

题目表述为两个运动体从一条线段的两端或一端出发，在两端点之间不断往返，求一定时间后    相遇次数或第 N 次相遇时间等。

【核心】 （1）两运动体从两端同时出发，相向而行，不断往返: 第 N 次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）； 第 N 次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）。 （2）两运动体从一端同时出发，相向而行，不断往返: 第 N 次迎面相遇，路程和=全程×2N； 第 N 次追上相遇，路程差=全程×2N。

【拓展】 不论从一端出发还是两端出发，两运动体相邻两次迎面相遇之间，两者的路程之和都是两个全    程；相邻两次追及相遇之间，两者的路程之差都是两个全程。迎面相遇与追及相遇分开考虑，两者    之间关系复杂，不宜统一考虑。

排列组合

基本排列组合

合题目表述为简单的排列组合问题，所涉及排列组合过程简单 熟记排列组合公式及排列组合的基本原理，直接应用公式。

排列和排列数

排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．

组合和组合数

组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．

排列 ----- 与顺序有关 组合 ----- 与顺序无关

两大原理

①分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法.

②分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法， ……做第 n 步有 mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= m1×m2×  ........ ×mn种不同的方法.

③两个原理的区别： 前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以独立完成这件事； 后者各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 缺一不可用乘法，可以缺少用加法。

三大原则

四大模型

错位排列

题型特征：题目符合错位排列模型（即欧拉错装信封问题） 解题思路：熟记元素个数 1-6 的错位排列数分别为 0,1,2,9,44,265 递推公式：Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）

圆周排列

题型特征：题目表述 N 个元素排成圆周，即环形排列问题。 解题思路：N 个元素排成一个圆周，方法数为：N！/N=（N-1）！

多人传球模型（不考察、不做要求）

比赛问题

五大方法

特殊优先法

题型特征：题目表述为某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置。

解题思路：对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。 特殊元素优先考虑，特殊位置优先考虑。

捆绑法

题型特征：顾名思义，就是将几个人或者物体“捆绑”在一起，他解决的问题——相邻问题。   题 目表述为要求某两个或几个物体相邻，待求符合要求的种数。 解题思路： 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作 一个“大”的元素（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。

插空法

题型特征：题目表述为要求某两个或某几个物体不相邻，待求符合要求的种数。 解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元    素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。

插板法

题型特征：题目表述为一组相同的元素分成若干组，要求每组至少一个元素。 解题思路：将比所需要分组数目少 1 的插板元素之间形成分组，假定 M 个元素，分成 N 组， 方法数为：C(M-1，N-1) 实战点拨： 插板法的三要件： ①相同元素分配； ②每组至少分到一个； ③所分组是不相同的。   缺一不可

反面考虑法（逆向计算）

题型特征：题目表述为完成排列的组合分类情况很多，依赖枚举不能完成或者非常复杂。 解题思路：考虑反面情况，正面情况较多的排列组合，反面情况往往较少，只需用总数减去 反面情况即可。（正难则反思想）

拓展方法

概率问题

概率问题常考的五大知识点

5. 期望值：变量的输出值乘以其概率的总和。 如果 X 是一个离散的随机变量，输出值为 x1、x2、  ............... xn,输出值的相应的几率为 p1、、....pn（几率和为 1） 那么期望值 E（X）=x1×p1+x2×p2+  ...... +xn×pn。

抽屉原理

抽屉原理问题在公务员考试中题型相对固定，考生只需遵循最差原则求解即可，一般当题目中    出现“至少.......才能 ..... ”的字句时，优先考虑抽屉原理。

基本概念

1）将多于 n 件物品任意放到 n 个抽屉里，那么中至少有一个抽屉中的物品件数不少于 2 个。 2）将多于 m×n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

题目特征

题目表述为黑色布袋中（不透明）有 ......... （具体物品种类及个数）， 至少要取出多少个.才可以保证 .......... （要满足的目标）。

速解

反向构造， 即假设所有物品并非放在布袋中，而是在自己的手中，然后逐一发出，   在发出的过程中尽可能不要满足题目的目标，直到满足目标为止。 那么在尽量不满足题目要求的情况下发出的最多数目就是题目的答案。

解题关键

营造“最不利情况”，即最差原则。

几何问题

平面几何

基础理论

与线、角相关

过两点有且只有一条直线； 两点之间线段最短。

1. 三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

1．N 边形的内角的和等于(N-2)×180 2．任意多边形的外角和等于 360

与周长、面积相关

1、面积相等的所有平面图形中，越接近圆（边数越多）的图形，周长越小； 2、周长相等的所有平面图形中，越接近圆（边数越多）的图形，面积越大。

立体几何

等量最值理论

体积相等的所有空间图形中，越接近球体（面数越多）的几何体，表面积越小。  表面积相等的所有空间图形中，越接近球体（面数越多）的几何体，体积越大。 即面积一定，圆周长最小； 周长一定，圆面积最大； 体积一定，球表面积最小； 表面积一定，球体积最大。

公式

对于立体几何问题，通常将其转化为平面几何问题进行求解。

十字相乘法

十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。 若有两种质量分别为 A 与 B 的溶液，其浓度分别为 a 与 b，混合后浓度为 r， 则由溶质质量不变可列出下式 Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得 A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下形式：

注意

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 十字交叉法不仅仅可用于溶液混合问题，也可以应用于两部分混合增长率问题、平均分数、平 均年龄等问题。只要能符合 Aa+Bb=(A+B)r 这个式子的问题均可应用十字交叉法，交叉相减后的比值为 对应原式中的 A 和 B 的比值。

浓度问题

浓度问题就是指溶液的浓度变化问题

核心

1、溶质、溶剂、溶液的质量比等于 X：Y：（X+Y)，X 为溶质，如酒精、硫酸等，Y 为溶剂如水 之类，（X+Y）为溶液，即溶质和溶剂的总称。 2、溶解度=溶质质量/溶剂质量×100% 3、溶液浓度=溶质质量/溶液质量×100%

口诀

加糖水不变，加水糖不变； 抓住不变量，不变应万变； 两两混合十字交，特值方程加比例！

利润问题

公式+基本概念

必杀技

1、方程法 2、特值法（未告诉价格或者数量） 3、比例法

牛吃草

题目特征

题目表述为以一定的速度匀速增长，同时又以另一速度被均匀消耗

经典公式

原有草量=（牛头数-每天草长量）×天数

公式推导

典型牛吃草问题是假设草的变化速度不变，给出不同数量的牛吃光同一片草地所需的时间不同， 求若干头牛吃光这片草地所需的时间或求一定时间内吃光这片草地所需的牛数。

牛头数×天数=原有草量+每天草长量×天数 原有草量=（牛头数-每天草长量）×天数

牛吃草万秒杀解法

草长速度出来也就知道原有草了，

衍生

上述两个公式可用来解决总量随时间的推移而变化的题目。 其中，“总量的初始值”对应上式   中的“草原原有草量”， “总量的消耗速度”对应上式中的“牛数”， “总量的消耗时间”对应上式中的“吃草时间”， “总量的变化速度”对应上式中的“草的变化速度”， 当总量增加时，该值为正，当总量减少时，该值为负。

容斥问题

基本思想

先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来， 然后再把计数时重复计算的数   目排除出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。

两大必杀方法

公式法

用于条件与问题都可直接代入公式的题目。利用公式法解决问题时要注意公式    中每个字母所代表的含义，这是我们经常容易出错的地方。

两个集合（两元）

︱A∪B︱=︱A︱+︱B︱-︱A∩B︱

满足条件 1 的个数+满足条件 2 的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数。

三个集合（三元）

︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B∩C︱

文氏图法

纸上无图，心中有图。算式脑中列，尾数秒杀题！（容斥最高境界）

①总数=A+B+C-(c+T)-(b+T)-(a+T)+T ②总数=A+B+C-（a+b+c）-2T ③Y=A+B-I Y=A+B+C-2I Y=A+B+C+D-3I ABC 分别指满足不同条件的人数，I 总人数，Y 待求同时满足几个条件的最少（至少）数目。

日期星期

基础理论

大小月

闰年判定核心口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰，

①年数能被 4 整除但不能被 100 整除的是闰年（如 2011 年不是闰年，2012 年是闰年） ②年数能被 100 整除但不能被 400 整除的是平年。 ③平年与闰年的区别：平年 2 月有 28 天，全年 365 天；闰年 2 月有 29 天，全年 366 天。 平年是 52 周余 1 天，闰年是 52 周余 2 天。 ④平年每年的第一天和最后一天为同一个星期数，而闰年每年的最后一天星期数为该年第    一天星期数加 1。

星期推移

平年就是 1, 闰年再加 1, 小月就是 2, 大月要补加 1, 7 天一循环, 28 年一周期。 解读：实际上经过若天数，求星期的推移，相当于/7 看余数。

当条件中出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时，这些日期本质上   都是 等差数列，可以通过计算其“平均数”来定位这些日期的“中位数”从而完成答题。

紧邻的两日：多的在前，垫后；多的在后，垫前（看多，前后相反）。

年龄问题

主要特点

(1) 随着时间的推移，两个人的年龄增加，且增加的数量相等，亦即年龄差始终不变； (2)随着年龄的增加，两个人的年龄倍数关系也会发生变化，且会变小。

三大必杀技

1) 方程法：根据年龄差不变或题目中的其他已知等量关系建立方程。 2) 画图法或列表法：根据题干中的表述，将数据之间的关系画图，进而求解未知项。 3)代入排除法：把选项代人，符合题中的所有条件，则为正确选项。

万能公式

年龄问题核心的核心是年龄差不变，不论你贫富贵贱，肥瘦丑美，你和另一 个人年龄差永远不变。因为时间对每个人都是公平的，珍惜每一刻。

钟表问题