数学
2025-10-10 19:01:28 0 举报AI智能生成
核心内容：本文件详细介绍了数学的基本概念、理论和应用，包括代数、几何、微积分和统计学等领域。文件强调数学在科学研究和技术开发中的重要作用，以及它在日常生活中的实际应用。 文件类型：本文档为学术论文格式，包含了严谨的数学公式、图形和图表，以便于读者更好地理解和掌握数学知识。 修饰语：本文件内容详实、逻辑严密、结构清晰，使用了大量直观的图形和实例，使得抽象的数学概念变得易于理解。同时，文件还包含了丰富的数学历史和文化内容，增加了阅读的趣味性。
作者其他创作
大纲/内容
超级课堂
1.松果丰收的烦恼———和差问题（一）
公式
1. 小数 = （和 - 差）÷ 2
2. 大数 = （和 + 差）÷ 2
2.未公布的分数——和差问题（二）
公式
1. 先用基本运算求和再用小数公式
2. 先用基本运算求和在用大数公式
3.Terry的小秘密——和差问题(三）
方法
1. 分配后线段图
2. 分配前线段图
3. 求出差值
4. 用和差问题
4. 学徒阿瓜的一天——和差问题（四）
方法
1. 画线段图，找出差或和
2. 截取线段，再算
5. 特殊的新年的礼物——差倍问题（一）
方法
1. 画线段图
2. 找出差值
3. 找出倍数
4. 再算
6. 进阶训练——差倍问题（二）
1. 数量转移类差倍问题
注意点
注意转移量
公式
1. 先画线段图
2. 再求多出的数量
3. 然后算倍数
4. 最后求第一框和第二框
2. 非整数倍类差倍问题
注意点
看后面又没有少或多
公式
1. 先画线段图
2. 求大数加上多或少
3.最后求数量
3. 三者关系类差倍问题
注意点
信息较多仔细看
公式
1. 先画线段图 整理信息
2.最后再写
7. 巧妙地假设——差倍问题（三）
注意点
因为信息时间不同，所以要看清楚
方法
1. 画线段
2. 假设差倍
3. 再求
8. 列方程解应用题——直接设未知数（一）
注意点
所有的等号要对齐，还要写解
方法
1. 设未知数字母
2. 解方程
9. 列方程应用题——间接设未知数上（二）
注意点
方法
DK图解数学
数字
1. 数学符号
数字系统
1234567890
零的意义
零虽然代表没有，但在更大的数字是被称为占位符
2. 位值
位值分为个、十、百、千、万······
在位值中数字不同代表也不同
3. 数列与规律
数列是指在一定规律叫作数列
数列中每一个叫作项
4. 数列与图形
图形数列是指在规定的方式的数列
5. 正数与负数
正数是指在大于零的数叫正数
负数是指在小于零的数叫负数
新符号
-—
6. 数的比较
在数学中用><=来表示大、小、等于
在比较中从最大有效数字在往后比较中途如果谁大数小就写
数字的最高位（零除外）的数成为第一有效数值然后往后排但最后一个是最小有效数值
7. 数的排序
数的排序是由最高位比起一直比较一直比较完
从大到小排叫作降序
从小到大的排叫做升序
8. 估算
估算是指接近正确答案但不是正确答案
新符号
≍（约等于号）
9. 四舍五入
四舍五入的意思是小于四的舍掉，大于五或等于五的入
10.因数
因数是指在一个数分成两个数相乘才算
最大公因数（最大公约数）是指两个数中最大都有的因数叫公因数
公因数（公约数）是在两个数都有的因数叫公因数
11.倍数
倍数是指在乘法算式中因数和因数
例：2 * 6 = 12 所以12的倍数是2和6
例：2 * 6 = 12 所以12的倍数是2和6
公倍数是指两个积公用的倍数
例：2 * 6 = 12 6 * 8 = 48 所以6是公倍数
例：2 * 6 = 12 6 * 8 = 48 所以6是公倍数
12. 质数
质数是指一个数大于1大可以整除一也可以出尽他本生
如果数字太大我们可以除2、3、5 、7如果可以出尽那就不是质数，如果除不尽那就是质数
13. 质因数
质因数是指在一个数除以一个质数得到的
例：30 / 2 = 15 15 / 3 = 5 所以30的质因数是2、3、5
例：30 / 2 = 15 15 / 3 = 5 所以30的质因数是2、3、5
求质因数可以画因数树来求
14. 平方数
平方数是指面积的准确的数叫做平方数
2cm²
读作：2平方厘米
写作：2cm²
15. 平方根
平方根是指是面积的对立的叫平方根
√64 = 8
新符号：√（平方根）
16. 立方数
立方数是由它本身再乘它本身的得数就是立方数
8³ = 2
17. 分数
分数是指把一个整体分成一个个小分表示出取多少的数叫分数
⅕5是分母 1是分子 线叫分数线
18. 假分数与带分数
假分数是指分子比分母大
8
—
5
—
5
带分数是假分数的转换
8
— = 13
—
5
5
— = 13
—
5
5
19. 等值分数
等值分数是指第一个分数和第二个分数一样
方法是同时除以或乘以一个相同的非零整数，一定是非零整数
20. 约分
约分是指把真是分数缩小叫约分
如果想快速算出约分就先找到分子和分母的最大公因数然后出最大公因数
约分是都约成最简数
最简数是无法往下分叫最简数
21. 求一个数量的一部分
求一个数量的一部分得用到分数计算
我们只指用先总数除以分母用所的结果乘以分子就求出来了
22. 同分母的分数比较
假如分母相同就比较分子
分子比较就是比谁拥有的更多也就是比较数字
23. 单位分数的比较
单位分数是分子为一分母是整数
单位分数比较时分母越大代表最小，分母越小代表越大
24. 非单位分数的比较
比较时有三种方法
1. 转换思想
用到约分
2. 数轴
一一列出
3. 想生活里的例子
投篮
25. 使用最小公分母
最小公分母指的是他们的倍数
转换的思想求出
26. 分数加法
分数加法的步骤
异分母分数相加步骤：
1. 带化假（带分数化为假分数）
2. 通分
3. 分子相加
4. 假化带（假分数化为带分数）
2. 通分
3. 分子相加
4. 假化带（假分数化为带分数）
相同分母分数相加步骤：
1. 直接算出分子在把分母和分数线抄下来
27. 分数减法
分数减法的步骤
异分母分数相减步骤：
1. 带化假（带分数化为假分数）
2. 通分
3. 分子相减
4. 假化带（假分数化为带分数）
2. 通分
3. 分子相减
4. 假化带（假分数化为带分数）
相同分母分数相减步骤：
1. 直接算出分子在把分母和分数线抄下来
28. 分数乘法
分数乘法的步骤
先画一个披萨平均分成3块，吃掉2块
再把吃掉的这2块，每块都切成4小份
最后你拿走了多少小份？2×1=2份，总共有3×4=12小份
再把吃掉的这2块，每块都切成4小份
最后你拿走了多少小份？2×1=2份，总共有3×4=12小份
29. 分数除法
分数乘法的步骤
➡️ 除号变乘号：3/4 × ?
➡️ 除数倒过来：1/8 变成 8/1
计算： 3×8=24，4×1=4 → 24/4=6
➡️ 除数倒过来：1/8 变成 8/1
计算： 3×8=24，4×1=4 → 24/4=6
30. 小数
小数是分数的一种形式
小数可以转换成分数，分数可以转化成小数
小数的构造
例:1.4
1是整数部分
. 小数点
4 是小数部分
1是整数部分
. 小数点
4 是小数部分
31. 小数的比较和排序
小数比较和整数比较差不多
比较方法
1. 比较整数部分
2. 比较小数部分
2. 比较小数部分
32. 小数的四舍五入
小数的四舍五入和整数的四舍五入差不多
四舍五入的步骤
1. 看小数部分，四舍五入
2. 求出四舍五入
2. 求出四舍五入
33. 小数加法
小数的加法和整数的加法差不多
小数的加法步骤
不进位
1. 直接相加
2. 求出结果
2. 求出结果
进位
1. 个位往前进位
2. 整数部分和进位结果相加
2. 整数部分和进位结果相加
竖式法
整数部分和整数部分对齐
小数点和小数点部分对齐
小数部分和小数部分对齐
34. 小数减法
小数的减法和整数的减法差不多
小数的减法步骤
不退位
1.直接相减
2. 求出结果
2. 求出结果
退位
1. 个位不够减退位和整数一起减
2. 退位的整数部分和下面相减
竖式法
整数部分和整数部分对齐
小数点和小数点部分对齐
小数部分和小数部分对齐
35. 百分数（百分比）
百分比是一种特殊的分数
例：
100 % 30
小数: 0.30
分数：100分之30
100 % 30
小数: 0.30
分数：100分之30
新符号：
%
36. 百分比计算
任意百分比计算
先用100%除以总分数求出一个x占了多少%
乘以要求的和数等于s%
乘以要求的和数等于s%
37. 百分比的换算
换算的步骤
用改变的数量除以原来的数量等于x
再把x乘以100
再把x乘以100
38. 比值
人们描述倍数习惯用整倍数，如果不是整倍数人么习惯用比值
例：
40克盐和50克面包
40克盐和50克面包
也可以约分
新符号：:
39. 比例
比例可以用分数和百分比来表示，但小数不可以
通常用在表示整体拿出不分时不能用比值，应用比例
40. 缩放
缩放是指保持所有部分 所占比例不变的情况下，对某物进行缩小或放大。
新概念：比例因子
口诀：形状不变大小变 放大缩小就出现
41. 分数的不同表示
分数可以用小数，百分数，文字，图片。
口诀：
分数想要化小数，除法竖式要牢记；分数化为百分数，利用小数就可以。
计算
42. 加法
加法是指把两个东西合起来就叫加法
6 + 3 = 9
+ 表示加
= 表示等于
9 表示6个橙子加三个橙子得到九（也就是和）
6 表示六个橙子（也就是加数）
3 表示三个橙子（也就是加数）
+ 表示加
= 表示等于
9 表示6个橙子加三个橙子得到九（也就是和）
6 表示六个橙子（也就是加数）
3 表示三个橙子（也就是加数）
加法是有交换律（也就是交换等号后面的两个数和不变）
运算加法的两种方法
1. 整体计数
想两个新数加起来算出的新数是多少就叫整体计数
2. 计数加法
直接相加数，若有进位往前进位
43. 使用数轴做加法
使用用数轴做加法可以清晰算出加法和过程
方法：找出一个数的位置往后跳另一个数字的数量
有效数在10以内
44. 使用数字网格做加法
使用数字网格做加法和用数轴一样清晰
方法：可以从一个方格跳到另一个方格，如果要加1，只需往右跳一格，若到末尾跳到下一行。如想加10直接跳到下一行，，应为一行10个。
有效数在100以内
45. 加法口诀
10的加法口诀
同等与10
0+10=10
10+0=10
1+9 =10
9+1 =10
2+8 =10
8+2 =10
3+7 =10
7+3 =10
4+6 =10
6+4 =10
5+5 =10
0+10=10
10+0=10
1+9 =10
9+1 =10
2+8 =10
8+2 =10
3+7 =10
7+3 =10
4+6 =10
6+4 =10
5+5 =10
10 + 10 以内的口诀
都是双倍数的结果
1+1 = 2
2+2 = 4
3+3 = 6
= 8
5+5
4+4
=10
6+6 =12
7+7 =14
8+8 =16
9+9 =18
10+10=20
1+1 = 2
2+2 = 4
3+3 = 6
= 8
5+5
4+4
=10
6+6 =12
7+7 =14
8+8 =16
9+9 =18
10+10=20
46. 分块加法
原理是把数数字分成整数相加（如图）
47 + 35 = ?
个位 +位 +位 个位 十位 个位
7 ？ 3 4 5 ？
= +
+位 +位 个位 十位 个位 个位
3 7 0 4 0 + = 0
个位 +位 个位 +位 +位 个位
5 1 2 + 7 =
+位 个位
8 2
个位 +位 +位 个位 十位 个位
7 ？ 3 4 5 ？
= +
+位 +位 个位 十位 个位 个位
3 7 0 4 0 + = 0
个位 +位 个位 +位 +位 个位
5 1 2 + 7 =
+位 个位
8 2
或者只拆一个数（如图）
思考
三位数使用分块算好吗
分支主题
丁丁数学宝典
三年级
寻找数列
数列是指一串数字或一列数字
数列有：
自然数列：1234......
双数列：2468......
自然数列：1234......
双数列：2468......
方法：看加就是+、* ，看减法就是--，/，加减乘除是构成基础运算的符号
例题
1. 3、6、12、（ ）、（ ）
答案： 15、18
胡小群
L0- L2
1. 从对应到计数
1. 对应与多少
没有数时，人们怎么计数
例题
数字发展阶段1：用对应思想进行计数
解：
1. 直接用数字
2. 用一一对应
1. 直接用数字
2. 用一一对应
得出结论三角比圆圈多
例：一个没有数字的牧羊人，早上带着羊群出去，下午带着羊群回来，他怎么知道羊有没有少掉？
解： 情况1. 羊都回家了，
口袋里还有石头
有羊走丢了！
情况2. 羊都回家了，
石头正好扔光羊没走丢
情况3.石头扔光了
还有羊要进来把别人的羊带回来了！
口袋里还有石头
有羊走丢了！
情况2. 羊都回家了，
石头正好扔光羊没走丢
情况3.石头扔光了
还有羊要进来把别人的羊带回来了！
数字发展阶段2：用对应思想来比较大小
解：
1. 有剩着的狗 → 狗多
2. 有剩着的猫 → 猫多
3. 正好每个狗和猫一样 → 一样多
1. 有剩着的狗 → 狗多
2. 有剩着的猫 → 猫多
3. 正好每个狗和猫一样 → 一样多
例：一个教室里有一些小朋友，有一些椅子，怎么知道是小朋友多还是椅子多？
解：
1. 有椅子空着 → 椅子多
2. 有小朋友没椅子坐 → 小朋友多
3. 正好每个小朋友一个椅子 → 一样多
1. 有椅子空着 → 椅子多
2. 有小朋友没椅子坐 → 小朋友多
3. 正好每个小朋友一个椅子 → 一样多
二、对应与计数
数字发展阶段3：数字命名
数字的发音
1. 像我眼睛一样多的狗
阿拉伯数字
2. 对应与十进制
十进制
数位不要满十往前进一
3. 数的大小比较
<>=
高位比矮位大，一样往后比
4. 加减法的奥秘
加法是把两个东西合起来
减法是反逆加法
5. 凑十、平十和破十
凑十是把二十以内加减法凑十，要经常记忆加法中的好朋友数
平十是把减数拆分分别用两部算出
破十是把一个十破成一
6. 加减竖式运算
对齐
把一样的数位对齐
数位
满十进一 ，不够减借“1”
7. 数字谜基础（1）
把算式到过来想
8. 加减法巧算（1）
加法：可以凑整，个位上找好朋友
减法：观察规律
9. 数字谜基础2
方法
先求知道部分的数
10. 从分类，到画圈圈
分类是最好不要重复
画圈圈可以重叠
11. 重叠问题
求重叠部分
先求原来总长
在求现在总长·
最后求重叠部分
求重叠后的部分
1. 先求再去重
2. 避免重叠
12. 揭开统计的面纱
13. 找不同，变相同
找相同，找不同，找变化过程的不变量
跑步时间相同，跑得远的跑得更快；跑步路程相同，时间少的跑得更快。
跑步时间和路程不相同，想办法找到桥梁，转成有一个相同的情况。
如果没有相同的量，尝试构造相同的量，把没有相同的量的问题转化成有相同的量的问题。
14. 枚举法初步
枚举法是把所有的情况都列出来
15. 分类与枚举
枚举中”每一层“都要确保有序进行
16. 等量代换
回答这种问题时要有整理思想
17. 空瓶换水
注意水喝完可以继续换
18. 移多补少
先去掉一样的部分，在平均分
19. 加减法巧算2
凑十，凑百
20. 加减法添去括号1
同级运算添去都一样
21. 加减法去括号2
减法去括号会变号，加法去号不变号
22. 认识乘法
每个一样一共多少乘多少
23. 乘法性质与计算
24. 乘法竖式初步
25. 认识除法1
26。 认知除法2
27. 四则混合运算
28. 有余数的除法
29. 除法的应用
30. 除法竖式
31. 除法竖式进阶
32. 奇数与偶数
减也一样
33. 奇偶分析
34. 图形计数初步
做其他题一样
35. 线段图
36. 线段图应用
其他的一样
37. 移多补少进阶
其他一样
38. 化加为乘
39. 逻辑推理入门（1）
40. 逻辑推理入门（2）
子主题
L3
上·
1. 计算（1）整数加减巧算
1. 位值原理
思考题：如果人类没有数位表示1- 100 需要多少数字
2. 加法对应思想
想象正在幼儿园是怎么算2 + 3 的
3. 十进制
凑十，破十不重要，重要的是理解它
4. 加法与减法
给一个不知道拿掉的小朋友讲 5 - 2
加法和减法是互逆的关系
计算（2）整数加减法巧算
1. “带符号搬家”：加减法（同级运算）可调换运算顺序（如右图）
2. 和不变，差不变
3. 减法去括号法则
4. 枚举法(1)
枚举法的定义与优势和劣势
优势与劣势
使用方法
有序无序
例题
按规则枚举
例题
字典排序法（树形思维导图）
枚举法（2）
例题
解：
解：
解：
解：
解：
（*）解：
解：
数线段
和差问题
计算（三）整数除法巧算
我们喜欢整数
好朋友数
2 5 = 10
25 4 =100
125 8=1000
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